Enero

Clase XVII (Miércoles 04 de enero del 2017)

- Media y Varianza para variables aleatorias continuas 

- Propiedades

- Distribuciones de Probabilidad Discretas

Distribución Uniforme

Tenemos esta distribución cuando el resultado de una experiencia aleatoria puede ser un conjunto finito de n posibles resultados, todos ellos igualmente probables. 

Un ejemplo puede ser la variable X, puntuación en el lanzamiento de un dado regular. Esta variable toma seis valores posibles, todos con la misma probabilidad p = 1/6. La función de densidad de esta variable será:

f(k) = P[X = k] = 1/6             k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

- Distribución Bernoulli

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 - p). Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

Es un experimento en el que existen dos posibles resultados.

El un resultado se denomina "éxito" con probabilidad "p", y el otro resultado se denomina "fracaso" con probabilidad "q"

 p+q=1

q=1-p

X ̴ Be(p)

Se dice que x sigue una distribución Bernoulli si el experimento se realiza 1 vez.

E(X) = p                 V(x) = p(1-p) = pq

- Distribución Binomial

La distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una Probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad Q = 1 - p. En la distribución Binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para N = 1, la Binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Características de un Experimento Binomial:

         a. La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita.

         b. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: - 1: “éxito” - 0:“fracaso”

         c. Todos los ensayos realizados son independientes

         d. La probabilidad p, de obtener “éxito” es constante.

Si deseas conocer más acerca de la distribución binomial, dale click AQUÍ.

Vitutor, (2014).  Distribución Binomial. Recuperado 04 enero 2016 de: http://www.vitutor.com/pro/3/distribucion_binomial.html

Clase XIX (Viernes 06 de enero del 2017)

- Realización de ejercicios de distribución binomial 

1. Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%.

Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad.

 X ̴ Bi(20,0.05)

X: V. a. discreta cantidad de artículos defectuosos.

n = 20 

p = 0.05 

x = 0, 1, ..., 20 

2. La probabilidad de que un disco compacto dure al menos un año sin que falle es de 0.95. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 15 discos elegidos al azar 

       a. 12 duren menos de un año

       b. a lo más 5 duren menos de un año

       c. al menos 2 duren menos de un año

       d. obtenga la media y la varianza de los discos compactos.

X: Número de discos que duren menos de un año.

n=15   

p= 0.05

(1-p) = q = 0.95

a) P(x=12) = f(12)

   f(12) = [15!/(3!*12!)] (0.05)12 (0.95)3 =  9.52*10-14 ˷̴  0

b) P(x≤5) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5)

    P(0) = [15!/(15!*0!)] (0.05)0 (0.95)15

    P(1) = [15!/(14!*1!)] (0.05)1 (0.95)14

    P(2) = [15!/(13!*2!)] (0.05)2 (0.95)13

     ˸       ˸

    P(5) = [15!/(10!*5!)] (0.05)5 (0.95)10

c) P(x≥2) = 1 - P(x<2) = 1- P(x=0) - P(x=1)

d) E(X)= np= 0.75

    V(X)= npq = o.77125.

Si deseas hacer más ejercicios de distribución binomial, dale click AQUÍ.

Vitutor, (2014).  Ejercicios de Distribución Binomial. Recuperado 06 enero 2016 de: http://www.vitutor.com/pro/3/b_a.html

Clase XX (Miércoles 11 de enero del 2017)

- Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad

correspondiente al número de “éxitos” que se obtendrían en una región o en intervalo de

tiempo especificados, si se conoce el número promedio de “éxitos” que ocurren.

Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

El número de “éxitos” que ocurren en la región o intervalo es independiente de lo que ocurre en otra región o intervalo.

La probabilidad de que un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de la región o intervalo.

La probabilidad de que más de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.

x= v.a.d que toma un número infinito de valores

- Media y varianza de la distribución de Poisson

- Aproximación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

En la Distribución Binomial cuando n es grande no es práctico el uso de la fórmula. Para

entender esto, suponga que n=100, p=0.05 y se quiere calcular la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor 4:

- Ejemplo:

Si deseas hacer más ejercicios de distribución de poisson y ver más ejemplos, dale click AQUÍ.

Itchihuahua, (2015).  Distribución de Poisson. Recuperado 11 enero 2016 de: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm

Clase XX (Viernes 13 de enero del 2017)

- Distribución Hipergeométrica

Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin

devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados

independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población está cambiando.

La cantidad de “éxitos” que se obtienen en la muestra no puede exceder a la cantidad de “éxitos” disponibles en el conjunto. Igualmente, la cantidad de n - x “fracasos” no puede exceder a los N - K disponibles.

- Media y Varianza para la distribución hipergeométrica

- Aproximación de la distribución hipergeométrica con la distribución binomial 

- Distribución binomial negativa

Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: los ensayos son independientes, cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, y la probabilidad que cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable aleatoria es diferente:

- Media y Varianza para la distribución binomial negativa

- Distribución Geométrica

Es un caso especial de la distribución binomial negativa cuando k=1.

Se emplea cuando se quiere conocer la cantidad de ensayo hasta tener el primer éxito.

Si deseas ver un video acerca de la distribución hipergeométrica, dale click AQUÍ.

Marcelo Ruíz, (2011).  Distribución Hipergeométrica. Recuperado 13 enero 2016 de: https://www.youtube.com/watch?v=49dTucA-kHU